Dr. Thomas Hillen
Christina Kuttler
Hartmut Schwetlick
Lehrstuhl für Biomathematik
Auf der Morgenstelle 10
D-72076 Tübingen
2. Kurzbeschreibung:
Das Ziel dieses Teilprojekts ist die Untersuchung von Systemen hyperbolischer
Differentialgleichungen aus der Sicht der Modellbildung, der Analysis und der
Numerik. Die betrachteten Gleichungen sind Systeme der korrelierten
Brownschen Bewegung, Systeme vom Cattaneo-Typ,
Reaktions-Telegraphengleichungen bzw.
semilineare gedämpfte Wellengleichungen und
Reaktions-Transport-Gleichungen (Boltzmann-artige Systeme),
d.h. Transportgleichungen mit
Nichtlinearitäten,
die allgemeine Interaktionen und nicht unbedingt Kollisionsvorgänge
beschreiben. Im einzelnen werden untersucht: Modellbildung,
Formulierung der Gleichungen und der Randbedingungen, stationäre
Zustände,
Linearisierung, Stabilität, Spektralprobleme (zusammen mit C4),
Positivität,
Invarianzprinzipien, Lyapunov-Funktionen, globales Verhalten und globale
Attraktoren, numerische Berechnung, Visualisierung.
3. Verbindungen zu anderen Projekten des SFB
Durch die Hinwendung zu allgemeinen Reaktions-Transport-Problemen,
über nichtlineare Wellengleichungen hinaus, ergibt sich ein engerer Bezug
zu physikalischen Fragestellungen. Besonders eng gestaltet sich dieser
Zusammenhang zum Projekt
A6 (internet-link: "http://www.ica1.uni-stuttgart.de/local/WWW/sfb382.html")
(Schüttgüter). Über das Problem der
führenden Eigenwerte der linearen
Transportgleichungen ergibt sich ein enger Zusammenhang zu
C4a
Die Entwicklung numerischer Methoden verbindet das
Projekt mit den Zeitintegratoren
C8
und den adaptiven Gittern
C1
Nachdem im Umfeld von
B5
ebenfalls eine Orientierung auf hyperbolische
Systeme erfolgt, entsteht ein enger Zusammenhang im Bereich der analytischen
und eventuell auch der numerischen Methodik.
4. Ergebnisse:
Die Modelle für räumliche Ausbreitung und
Reaktionen in
einer Dimension koppeln die korrelierte Brownsche Bewegung mit Reaktionen, Interaktionen und Randeffekten.
Es wurde eine umfassende Theorie der qualitativen Analyse entwickelt:
-
Lokale und Globale Existenz von Lösungen
-
Lineare Stabilitätsanalyse, Bifurkationen
-
Energieabschätzungen und Lyapunov Funktionen
-
Positivität und Invarianzprinzipien
Diese theoretischen Resultate konnten für die folgenden Anwendungen
genutzt werden:
-
Turing Instabilitäten und Musterbildung
-
Epidemiemodelle
-
Hyperbolisches Stefan Problem
-
Modellierung von Schüttgütern (begonnen)
Für räumliche Ausbreitung in mehr al einer Dimension bieten sich zwei
Verallgemeinerungen an: Die Reaktions-Transport-Gleichungen und die Cattaneo
Systeme.
Für Reaktions-Transportgleichungen ist die Modellierung sehr weit
vorangeschritten. Existenz von Lösungen konnte gezeigt werden. Das
Problem der laufenden Wellenfronten wurde in allen Dimensionen behandelt und die minimale Wellengeschwindigkeit bestimmt.
Für die Cattaneo Systeme konnte, neben Existenz und Eindeutigkeit von
Lösungen, eine Lyapunov Funktion gefunden werden. Unter geeigneten
Voraussetzungen ist jede Limesmenge in der Menge der stationären
Lösung enthalten.
5. Veröffentlichungen in Zusammenhang mit diesem
SFB-Projekt
In der
Report-Reihe des SFB 382
sind bisher folgende Artikel erschienen, teilweise liegen dort die
Arbeiten in einer abrufbaren Version vor.
-
Nr. 8: K.P. Hadeler, 1. Travelling fronts in random walk systems
2. Travelling epidemic waves and correlated random walks,
Februar (1995)
-
Nr. 9: T. Hillen, A Turing model with correlated random walk,
Februar (1995)
-
Nr. 10: J. von Below, Front propagation in diffusion problems
on trees, Februar (1995)
-
Nr. 16: J. Von Below, S. Nicaise, Dynamical interface transition in
ramified media with diffusion, Mai (1995)
-
Nr. 20: K.P. Hadeler, Reaction telegraph equations and random
walk systems, Juni (1995)
-
Nr. 36: K.P. Hadeler, Z. Lu, Qualitative Behavior of the
Chemostat System, Januar (1996)
-
Nr. 43: T. Hillen, Qualitative Analysis of Hyperbolic Random
Walk Systems, April (1996)
-
Nr. 47: T. Hillen, Invariance Principles for Hyperbolic Random
Walk Systems, Juli (1996)
-
Nr. 52: K.P. Hadeler, Spatial epidemic spread by correlated random
walk, with slow infectives, Oktober (1996)
-
Nr. 59: T. Hillen, Qualitative Analysis of semilinear Cattaneo
Equations, Januar (1997)
-
Nr. 73: H. Schwetlick, On the minimal wave speed of a semilinear
reaction transport equation in dimension n, April (1997)
letzte Änderung am 12.5..1997
thomas.hillen@uni.tuebingen.de(thomas.hillen@uni-tuebingen.de)
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Internet-Links
A6 (http://www.ica1.uni-stuttgart.de/local/WWW/sfb382.html)
